【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？★２

■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？

　「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。

　そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。

■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」

円周率を計算!?

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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。

　3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。

　このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？　なぜでしょうか。

　約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。

　日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。

　この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。

　話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。

　一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。

　西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。

　さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！

　ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。

　この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。

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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。

　OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。

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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。

　このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。

東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？ | 文系でも怖くない 学び直

東大入試と聞くと「難問だ」と身構えるかもしれないが、実際は数学のセンスや基礎学力を身に付けること ...

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★１が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
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数学は中学まではほぼ満点取ってて得意分野で、理数系進もうかと思ってたぐらいなのに
高2ぐらいになってからめちゃくちゃ嫌い＆苦手になってしまった
あと化学も

なんだろう、なんか抽象的になりすぎて興味を全力で失ったのかなあ
「何やってんだこれ？」って思ってから何も頭に入らなくなった
あと思考が悪い意味で女になった

答「うるさいお前が証明してみせろ」

パターン暗記してればこの問題も解ける
受験数学に閃きなど必要ない

そもそも円周率の求め方を忘れた
いつ習ったっけ？

つうかその場で思い付いたやつっていたの

2が立つ速さ異常じゃね
記者の仕事まちまちすぎんだろ

3より大きいのは証明できる(´･ω･｀)

数学の学力を上げるのに必要なのは

・さまざまなパターンの暗記
・暗記したパターンを使って初見の問題を解く訓練

の２つなんだが
数学のセンスがある人はパターンを初見の問題に当てはめるのが抜群にうまいんだと思う
これこそ数学の才能

円周率とか偏微分とか最初に訳した日本人は死ねよ
円周比とか部分微分にしてれば字義のとおりの意味になったのに

わし証明きらいだったなぁｎ

ミスタードーナツを食べるミスタービーン

多角形の頂点の数を無限に増やしていくと、本当に円になるの？
物理学的にはアウトだよ
数学の空想論
けど、線と円の関係を極限で説明する方法は悪くはない

答えがなんとなくの数字だから
とりあえず正解としてるのが嫌

まだやるのかよw
円周率は3だって言ってるだろ
それ以上でも以下でも無い
『3』だ。

来年の東大入試

自然対数の底(ネイピア数)ｅが2.71より大きい事を示せ

さあ、お前らならどう解く！

いいえ円周率は3です

俺が大きいと言ったら大きいんだよ。

何か文句あるか？

前に、これを電車で見かけたとき、八角形で試して
職場が秋葉原なのに神田まで気づかなかったな

そもそも円周率そのものが無意味な存在だと気づけよ数学バカ
オカマが「自分を認めろ」と大声で叫んでる今と同じだと気づけよ数学バカ
一般人からすりゃどうでもいい存在だろ自覚しろ

半径5の1/4円周上の点(5,0),(4,3),(3,4)(0,5)を結ぶ線分よりπ/4が大きいことを示せば中学生でも解ける

サインコサインっていつ習った？
ゆとりの自分は高校で習ったんだが、上の世代で中学で習ったという奴もいるんだよな
どの世代はいつ習ったんだ？

π論破

次は自然対数が2.72より小さいことを証明だな

４角形の中に円が収まるな
sssp://o.5ch.net/1jf4c.png

ウヨ「ちんぷん」

六角形で考えると円周率は3
そこからスタート

3.141569……
だから

さすがフィールズ賞を大量に出してる大学だな

東大入試レベルだったらπ＝３となるリーマン曲面を求めその時のeを計算せよくらいの問題でないと手ごたえ感じないだろう

その".05″ってのはなんやねん