【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2

■摩訶不思議！「循環小数」の世界

「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。

私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。

まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。

たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。

したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。

■石には粉

もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。

この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。

答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。

循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。


2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン

1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 - ライブドアニュース

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★1が立った時間　2019/11/05(火) 12:00:30.11
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生活に支障無い。
どうでも良い。

1は常に1であり0.333*3ではない
しかし0.3333333････････*3なら1である
宇宙がそう言っている

×0.33333… × 3 = 0.99999…　←これが計算ミス
○0.33333… × 3 = 1

0.333333 × 3 = 0.999999 だが、…を3倍した時点で1になって0.99・・にはならない

22/7 計算中

最近の高校生は有理数、無理数も習わないのか？

45450721の平方根

この辺はもう　数学というより心理学の研究対象でしょう
人間はなぜこれを謎だと思うのか　という

大学一年の基礎数学でこれの証明が課題レポートだったな

問：「この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが」
答：「なりません」

と言えない教員のレベル

でも1/3を変数に格納すると1に戻る

1/3=3/9にもなれるし2/6にもなれる。それが1/3
0.3333は全くの別物

死ぬまでに三分の一に三をかける場面は訪れないから安心しろ

10倍100倍して引き算して無限部分を消しこむやり方で習ったが、正しくはこんなややこしいのか？

目の前にカステラが３つあるとする
これを３人で分けるには どうしたらいい？

0.999…は1と完全に等しい
代表的なデマ

・限りなく近いけど1じゃないよ
・イコールじゃなくて「≒」だよ
・誤差だよ
・近似だよ
・コンピュータの計算精度の問題だよ
・1より小さいうちで最も大きい数だよ
・ほんとは異なるけど10進法の限界でこうなるよ

ちっとも面白くない

今時なら、コンピュータの不動小数点で除算やったときの10進と2進の差の話でもしてくれ

大体この辺りはオロチ独歩がクリアしてる

愚地独歩かな？

たまに寝る前にこれを考え始めて、考えてる間に寝てしまう

掛けられる数が違うんだから結果も違う
どこが不思議だ

スレタイのとおり
1/3×3＝1だし、0.33333…×3＝0.99999…だし
何が謎なのか

1/3＝0.33333…とするなら1＝0.99999…だし
逆に「0.99999…は1じゃない」というなら「0.33333…だって1/3じゃない」

これは1に等しいのは常識で
むしろ「なぜ人は0.999… = 1 と思えないのか」が教育上の研究課題になるレベルの話

循環小数なんて小学生の時習った気がするが
摩訶不思議とか思う方が、摩訶不思議だわ

分数は必ず循環小数になるんだが・・・・

・一文字で表記する数量が、進数の約数でない場合は循環小数になる

これが命題。あとは誰か証明してくれ。1/7も循環するし

1/3×9＝0.33…×(10－1)
3＝3.33…－0.33…
3＝3

当たり前すぎて問題にすらならない
文系君が頭ひねって楽しむ話題じゃないのコレ？

おい！これ高校で習うだろｗｗｗ

天井に届かない棒、第二話！

循環小便って飲尿健康法みたいだな

ケーキを３つに分けて、分けたケーキをまた一つに戻そうとすると分ける前より包丁で潰れた分少なくなるだろ

0.999999…とはつまりそういうことだ

同じじゃないだろ

1×3÷3にならびかえ

この辺が初診での切り分け
・0.999…に「最後の桁」があるように思える
・0.999…が「静的な値でなく動きを含んだ何か」に思える