【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2

■摩訶不思議！「循環小数」の世界

「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。

私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。

まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。

たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。

したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。

■石には粉

もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。

この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。

答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。

循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。


2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン

1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 - ライブドアニュース

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★1が立った時間　2019/11/05(火) 12:00:30.11
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生活に支障無い。
どうでも良い。

1は常に1であり0.333*3ではない
しかし0.3333333････････*3なら1である
宇宙がそう言っている

×0.33333… × 3 = 0.99999…　←これが計算ミス
○0.33333… × 3 = 1

0.333333 × 3 = 0.999999 だが、…を3倍した時点で1になって0.99・・にはならない

22/7 計算中

最近の高校生は有理数、無理数も習わないのか？

45450721の平方根

この辺はもう　数学というより心理学の研究対象でしょう
人間はなぜこれを謎だと思うのか　という

大学一年の基礎数学でこれの証明が課題レポートだったな

10倍100倍して引き算して無限部分を消しこむやり方で習ったが、正しくはこんなややこしいのか？

目の前にカステラが３つあるとする
これを３人で分けるには どうしたらいい？

0.999…は1と完全に等しい
代表的なデマ

・限りなく近いけど1じゃないよ
・イコールじゃなくて「≒」だよ
・誤差だよ
・近似だよ
・コンピュータの計算精度の問題だよ
・1より小さいうちで最も大きい数だよ
・ほんとは異なるけど10進法の限界でこうなるよ

ちっとも面白くない

今時なら、コンピュータの不動小数点で除算やったときの10進と2進の差の話でもしてくれ

大体この辺りはオロチ独歩がクリアしてる

愚地独歩かな？

たまに寝る前にこれを考え始めて、考えてる間に寝てしまう

掛けられる数が違うんだから結果も違う
どこが不思議だ

スレタイのとおり
1/3×3＝1だし、0.33333…×3＝0.99999…だし
何が謎なのか

1/3＝0.33333…とするなら1＝0.99999…だし
逆に「0.99999…は1じゃない」というなら「0.33333…だって1/3じゃない」

これは1に等しいのは常識で
むしろ「なぜ人は0.999… = 1 と思えないのか」が教育上の研究課題になるレベルの話

循環小数なんて小学生の時習った気がするが
摩訶不思議とか思う方が、摩訶不思議だわ

分数は必ず循環小数になるんだが・・・・